Теория и методика обучения (из областей знаний) - Педагогические науки - Сортировка материалов по секциям - Конференции - Академия наук
Приветствую Вас, Гость! Регистрация RSS

Академия наук

Среда, 07.12.2016
Главная » Статьи » Сортировка материалов по секциям » Педагогические науки

Теория и методика обучения (из областей знаний)
Определители и «быстрое» правило Крамера
 
Авторы:
 
Лебедев Игорь Алексеевич, кандидат физ.-мат. наук, Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»
 
Яковлева Александра Анатольевна, кандидат физ.-мат. наук, Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»
 
В данной работе мы покажем, как, используя введение определителя через разложение по строке или столбцу, можно достаточно просто и кратко получить свойства определителей, общий и практичный способ их вычисления и правило Крамера. В условиях дефицита времени представляется немаловажной возможность в течение одной лекции изложить определение и основные свойства определителей и правило Крамера с примерами. Традиционное изложение этих вопросов ([1-3]) не позволяет это сделать. Естественно, такое изложение будет использовать правдоподобные рассуждения (в смысле Пойа [4]), достаточные для технологических специальностей практической направленности (но при наличии возможности это изложение можно развернуть в более строгие рассуждения).
Определитель вводится как число, сопоставляемое квадратной таблице чисел (матрице) по правилу разложения. При этом определитель матрицы первого порядка (состоящей из одного числа) равен этому числу. Применяя это правило несколько раз, можно свести определитель произвольного порядка к определителям, например, второго порядка, для которых формула вычисления очень проста. Возможно и обратное: соответствующее разложение на определители  меньшего порядка сворачивается в определитель большего порядка. Поэтому при обосновании свойств определителей достаточно рассматривать определители второго порядка. Корректность такого введения основана на теореме о единственности значения определителя: значение определителя не зависит от способа разложения. Теорема обосновывается прямой проверкой, которую, согласно вышесказанному, достаточно провести для определителей второго порядка. Точно так же проверяются все основные свойства, например:
a)             если к элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на число, то определитель не изменится:

b) сумма произведений элементов строки (столбца) на  алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю:

Свойство а) дает общий способ вычисления определителей получением нулей в строке или столбце с последующим разложением по этой строке (столбцу).
В качестве применения определителей рассмотрим квадратные системы линейных алгебраических уравнений второго порядка
, для которой главный определитель.
Вспомогательные определители получаются из главного заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов:

Выписанные определители определяют решение этой системы (отсюда и название – определители). Чтобы это показать, достаточно умножить уравнения системы на алгебраические дополнения  и  лементов первого столбца и сложить, получив следствие 1 системы:

Аналогично, умножая уравнения системы на алгебраические дополнения элементов второго столбца и складывая, получим: 
Таким образом, если главный определитель , решение системы существует, единственно и находится по формулам:

Если главный определитель   хотя бы один из вспомогательных определителей  е равен нулю, получаем невозможное равенство , и в этом случае система не имеет решений (второе правило Крамера).
Такие же рассуждения справедливы для квадратных систем алгебраических линейных уравнений любого порядка.
 
Литература:
1. Беклемишев О.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1974.
2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1985.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980.
4. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975.
Категория: Педагогические науки | Добавил: Administrator (20.03.2013)
Просмотров: 347 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 5.0/2
Всего комментариев: 1
1  
Отличная работа, практичный и наглядный пример! Всегда поощряю наглядные примеры, так как они помогают лучше понять сказанное и хорошо остаются в памяти. Очень удивительно, что такие сложные вещи можно вот так легко описать в доступном для других изложении. Спасибо за ваш труд. Надеюсь на дальнейшие практичные статьи.

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]